НЕЛЕНЬ АНДРІЙ ІГОРОВИЧ | ПОРІВНЯЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РІЗНИХ АКСІОМАТИК ЕВКЛІДОВОЇ ГЕОМЕТРІЇ + ПОБУДОВА МНОГОЧЛЕНІВ 3-ГО ПОРЯДКУ ЗА ДОПОМОГОЮ МАТЕМАТИЧНОГО ПАКЕТУ «MAPLE»

Нелень Андрій Ігорович
Вищеверещаківська філія комунального закладу «Красносільське навчально-виховне об’єднання» Олександрівської районної ради Кіровоградської області
вчитель математики

ПОРІВНЯЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РІЗНИХ АКСІОМАТИК ЕВКЛІДОВОЇ ГЕОМЕТРІЇ

Робота буде цікавою студентам фізико-математичного факультету, вчителям математики та всім охочим поглибити свої знання з геометрії. Можна використати на факультативних, гурткових заняттях в школі та при вивченні курсу «Основи геометрії» у ВУЗах.

Історію розвитку аксіоматичного методу можна розділити на три періоди:

1) Період змістовної аксіоматизації
2) Період напівформальної аксіоматизації
3) Період формальної аксіоматизації

Ще на початку III століття до н. е. Арістотель чітко визначив і логічну схему систематичного викладання науки, і суть змістовної аксіоматичної теорії. У цьому ж столітті з’явились «Начала» Евкліда [4].

Деякі з недоліків «Начал» були помічені і певною мірою усунуті ще в давнину.

Проблема V-го постулату була однією з найпопулярніших в математиці. Пропонувалися найрізноманітніші його доведення. Проте всі вони були або помилковими, або спирались на інші твердження, еквівалентні цьому постулату.

В кінці 60-х років ХІХ ст. перед математиками постала задача побудувати таку аксіоматику елементарної геометрії, на базі якої, опираючись лише на закони логіки, можна було б строго математично побудувати її теорію без будь-яких посилань на наочність і очевидність.

Відкриття геометрії Лобачевського дало нове розуміння аксіоматичного методу і сприяло подальшому аналізу аксіоматичної бази евклідової геометрії.

Загальна тенденція до строго математичних доведень, якою відмічені роботи другої половини ХІХ ст. поставила перед геометрами задачу повного дослідження аксіом геометрії. Ці дослідження показали, що система аксіом Евкліда не досконала, і перш за все, вона не повна, тобто в ній відсутня ціла серія аксіом, необхідних для проведення строго логічних доведень.

Першими великими досягненнями в аналізі аксіоматичної побудови евклідової геометрії стали дослідження математиків М. Паша та Дж. Пеано.

У 1899 р. вийшли в світ праці італійського математика М.Пієрі і німецького математика Д. Гільберта. У системі аксіом Д. Гільберта одним з вихідних понять геометрії є «конгруентність». М. Пієрі, йдучи за своїм учителем Дж. Пеано, вихідним вважає «рух». Через три роки було опубліковано статтю російського математика В. Ф. Кагана, який запропонував метричну аксіоматику [6], в якій одним з основних відношень є «відстань між двома точками». Дещо пізніше німецький математик Г.Вейль запропонував точково-векторну аксіоматику евклідової геометрії. Всі названі системи обґрунтування геометрії формально еквівалентні і кожна із них дає можливість довести всі теореми евклідової геометрії. Ці дослідження справили величезний вплив на формування сучасного аксіоматичного методу, який став потужнім засобом дослідження у всіх розділах математики.

Система аксіом n-вимірної евклідової геометрії, тісно пов’язана з поняттям векторного простору, була запропонована Г. Вейлем (1918 р.). За Г. Шоке: векторний шлях вивчення елементарної геометрії – це королівський шлях в математиці.

При цьому виявляється, що n-вимірний евклідів простір при n=3 являє собою звичайну стереометрію, при n=2 – планіметрію, при n=1 – геометрію прямої (лонгиметрію).

До недавніх часів викладання геометрії в середній школі у нашій країні базувалось на традиційній системі Евкліда і здійснювалось за відомим підручником А.П.Кисельова [8], написаним ще в ХІХ ст.

Бурхливий розвиток математики привели до необхідності реформування математичної освіти, зокрема, до більш строгого викладу курсу геометрії в середній школі. Природнім був би шлях перебудови ШКГ на базі аксіом Гільберта, але такий шлях заслуговує серйозної критики. З однієї сторони, аксіоматика Гільберта для школярів досить складна, з іншої – вона практично не має виходу в інші області сучасної геометрії. Це приводить до того, що в геометрію слабо проникають аналітичні методи досліджень та векторна алгебра.

Не дивлячись на те, що побудова шкільного курсу геометрії на основі аксіоматики Вейля в наш час зближувала б шкільний курс геометрії з сучасним науковим рівнем математики, більшість педагогів-математиків вважають таку реформу шкільного курсу геометрії передчасною, або й взагалі недоцільною. Тому для встановлення зв’язків шкільного курсу геометрії з сучасною наукою необхідно було шукати інші, більш прості шляхи.

Один із таких підходів в свій час був реалізований в шкільному посібнику з геометрії під редакцією академіка А. М. Колмогорова [9]. В його аксіоматиці, з однієї сторони, знайшли відображення кращі моменти різних аксіоматик евклідової геометрії, з іншої – дається можливість в ШКГ ознайомитися з рядом ідей, характерних для сучасного розвитку математики [12].

На початку 80-х років минулого століття школи перейшли на підручник О.В.Погорєлова [11], в основу якого була покладена дещо видозмінена аксіоматика Гільберта. В аксіоматиці Гільберта він запропонував групи аксіом порядку і конгруентності замінити еквівалентними їм групами аксіом — замість аксіом порядку ввести систему аксіом, що ґрунтується на відношенні «слідування» для пар точок, а замість аксіом конгруентності — аксіоми «руху».

Виклад теоретичного матеріалу в шкільному підручнику Погорєлова ґрунтується на дедуктивній основі, хоч і не строго аксіоматично.

Аналізуючи викладене, зробимо деякі висновки. На відміну від аксіоматик Колмогорова та Погорєлова ШКГ, які надають перевагу простоті доведень, доступності та наочності, в аксіоматиках Гільберта та Вейля увага акцентується на науковості викладу.

В аксіоматиці Колмогорова ШКГ прийнята надлишкова система основних понять, включаючи такі поняття як: точка, відстань, пряма і площина. Використання в ШКГ надлишкової системи понять обумовлена психолого-педагогічними і методичними вимогами, в силу чого вимога незалежності аксіоматик ШКГ не виконується.

Система аксіом Колмогорова (як і Погорєлова) несуперечлива і категорична, адже неважко довести, що вона еквівалентна як системі аксіом Гільберта, так і системі аксіом Вейля.

Аксіоматики Гільберта, Колмогорова і Погорєлова за логікою побудови досить близькі. Справа в тому, що аксіоми інцидентності Гільберта по суті співпадають з аксіомами належності ШКГ, а аксіоми порядку і конгруентності Гільберта доводяться як теореми на базі шкільних аксіоматик. Введення в аксіоматику ШКГ аксіом відстані, руху, аксіом довжини відрізка та градусної міри кута дає можливість досить просто викласти теорію всіх питань, пов’язаних з конгруентністю відрізків, кутів, фігур та вимірюванням довжин, площ і об’ємів.

Спільним у цих аксіоматиках є те, що відкинувши аксіому паралельності в кожній із них, ми одержуємо абсолютну геометрію, а замінивши в кожній із них гільбертовську аксіому паралельності аксіомою паралельності Лобачевського, одержуємо геометрію Лобачевського.

Несуперечливість аксіоматики Вейля евклідової геометрії, як і аксіоматики Гільберта, досить просто доводиться шляхом побудови арифметичної інтерпретації. Оскільки кожна з аксіоматик ШКГ еквівалентна аксіоматиці Вейля, а остання несуперечлива постільки, поскільки несуперечлива арифметика дійсних чисел, то справедлива теорема: система аксіом Колмогорова (Погорєлова) ШКГ несуперечлива, якщо несуперечлива арифметика.

До середини ХХ століття усі вітчизняні школи дотримувалися «Начал». Учням розповідали про можливість аксіоматичної побудови геометрії, формулювали тільки частину аксіом, на базі яких доводились прості теореми. При доведенні більш складних теорем використовували не тільки аксіоми, а і знання учнів, отримані з досвіду. Згодом академіки А.М.Колмогоров [1] і О.В.Погорєлов [2] запропонували для загальнооосвітніх шкіл курси геометрії, які будувались на аксіоматичній основі.

А.М.Колмогоров, говорячи про логічні основи шкільного курсу геометрії, основну увагу звертав на поняття і твердження. О.В.Погорєлов найціннішим у геометрії вважав доведення. Означенням в побудові систематичного курсу геометрії він відводить як би другорядну роль, головне для нього – навчити учнів правильно доводити теореми.

На закінчення відмітимо, що багаторічна практика переконливо показала, що адаптовані до школи аксіоматичні курси геометрії виявилися для учнів досить складними і надмірно абстрактними. Основна увага у них звертається на найперші теми, на очевидні твердження, а на вивчення більш складних і цікавих питань не вистачало часу. В останні роки вчителі-новатори та вчені-методисти нашої країни переконливо показують, що для загальноосвітніх шкіл і, особливо, для основної школи, будувати курси геометрії на аксіоматичній базі недоцільно.

Необхідною умовою побудови сучасного шкільного курсу геометрії, як вважають вони, є логічні основи, логіка доведень, які не слід зводити до аксіоматичного методу. Шкільний курс геометрії сьогодні пропонують будувати так, щоб усі його поняття, означення, твердження та їх доведення, задачі подавалися відповідно до вимог логіки.

В останні роки наші школи поступово переходять на нові підручники геометрії, розроблені різними авторськими колективами, в яких намагаються реалізувати вказані вище вимоги. Ці підручники будуються не на аксіоматичній основі, а на досвідно-дедуктивному рівні.

БІБЛІОГРАФІЯ

І. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.ІІ. − М.: Просвещение, І987.

2. Атанасян Л.С., Гуревич Г.Б. Геометрия. Ч.ІІ. − М.: Просвещение, 1976.

3. Гильберт Д. Основания геометрии. − М., Гостехиздат, 1948.

4. Евклид. Начала Евклида, т. I − III, кн. 1 − 15. − М.-Л., Гостехиздат, 1948-1950.

5. Егоров И.Л. Лекции по аксиоматике Вейля и неевклидовым геометриям. Пособие для студентов. − Рязань, 1973.

6. Каган В.Ф. Очерки по геометрии. − М.: Изд.МГУ, 1963.

7. Костин В. И. Основания геометрии. − М.: Учпедгиз, 1961.

8. Киселев А.П. Геометрия. –М.: Учпедгиз, 1962.

9. Колмогоров А. Н., Семенович А. Ф., Нагибин Ф. Ф., Черкасов Р. С. Геометрия. Учебное пособие для 6 − 8 кл., под редакцией

А. Н. Колмогорова. − М.: Просвещение, 1979.

10. Погорелов А.В. Основания геометрии. − М.: Наука, 1968.

11.Погорелов А.В. Геометрия. Учебное пособие для 7-11 кл. сш. –М.: Просвещение, 1989.

12. Семенович О.Ф. Геометрія. Аксіоматичний метод. − К.: Радянська школа, 1980.

 

ПОБУДОВА МНОГОЧЛЕНІВ 3-ГО ПОРЯДКУ ЗА ДОПОМОГОЮ МАТЕМАТИЧНОГО ПАКЕТУ «MAPLE»

Робота буде цікавою студентам фізико-математичного факультету, вчителям математики, інформатики та всім охочим поглибити свої знання з цих предметів. Можна використати на факультативних, гурткових заняттях в загальноосвітніх навчальних закладах.

В час інформаційний технологій існує безліч цікавих математичних пакетів з допомогою яких можна розв’язувати різні рівняння, приклади, будувати графіки функцій. Ці пакети дозволяють раціонально використовувати свій власний час. Розглянемо побудову многочленів 3-го порядку за допомогою математичного пакету «Maple», написавши програму для побудови будь-якої кількості таких прикладів.

nelen-1

ПОБУДОВУ МНОГОЧЛЕНІВ 3-ГО ПОРЯДКУ

БІБЛІОГРАФІЯ

  1. Савотченко С. Е., Кузьмичева Т. Г. Методы решения математических задач в Maple: Учебное пособие– Белгород: Изд. Белаудит, 2001. – 116 с.